染雾新人教版九年级数学上册教案 篇一
标题：拓展实数集的概念与性质
教学目标：
1. 理解实数集的概念，掌握常见的实数集分类及其性质。
2. 学会使用实数集的性质进行数学推理和证明。
3. 培养学生对实数集的认识和理解能力，提高数学思维和推理能力。
教学重点：
1. 实数集的概念和分类。
2. 实数集的性质及其应用。
3. 实数集的运算规律。
教学难点：
1. 实数集的性质的理解与应用。
2. 实数集的分类及其性质的记忆与掌握。
教学内容：
1. 实数集的概念与分类
a. 有理数集
b. 无理数集
c. 实数集
2. 实数集的性质与应用
a. 实数集的稠密性
b. 实数集的有界性
c. 实数集的无穷性
3. 实数集的运算规律
a. 实数的加法和乘法运算
b. 实数的比较和排序
教学过程：
1. 概念讲解与引入
a. 引导学生回顾有理数集的概念和性质。
b. 引入无理数集的概念和性质，并与有理数集进行比较。
c. 引入实数集的概念和性质，并对实数集进行分类。
2. 实数集的性质与应用
a. 实数集的稠密性：通过例题和实际问题让学生理解实数集的稠密性，并应用于数轴上的问题。
b. 实数集的有界性：讲解实数集的上界和下界的概念，并通过例题让学生掌握实数集的有界性。
c. 实数集的无穷性：通过例题和实际问题让学生理解实数集的无穷性，并应用于数轴上的问题。
3. 实数集的运算规律
a. 实数的加法和乘法运算：讲解实数的加法和乘法运算的性质，并通过例题让学生掌握实数运算的规律。
b. 实数的比较和排序：通过例题和实际问题让学生掌握实数的比较和排序方法。
教学方法：
1. 演绎法：通过引导学生观察实例，总结规律，推导性质。
2. 归纳法：通过提供实数集的性质，让学生归纳总结实数集的分类和性质。
教学评价：
1. 检测学生对实数集概念和分类的理解程度。
2. 检测学生对实数集性质的应用能力。
3. 检测学生对实数集运算规律的掌握程度。
教学反思：
本节课通过引入无理数集和实数集的概念，拓展了学生对数的认识和理解。通过讲解实数集的性质和运算规律，培养了学生的数学思维和推理能力。同时，通过例题和实际问题的练习，提高了学生的应用能力和解决问题的能力。但在教学过程中，需要注意引导学生进行思考和讨论，加强学生的主动参与，提高教学效果。
新人教版九年级数学上册教案 篇三
第二十一章 一元二次方程21．1 一元二次方程
1．通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念．
2．了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解．
重点
通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题．
难点
一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别．
活动1 复习旧知
1．什么是方程？你能举一个方程的例子吗？
2．下列哪些方程是一元一次方程？并给出一元一次方程的概念和一般形式．
(1)2x－1 (2)mx＋n＝0 (3)1x＋1＝0 (4)x2＝1
3．下列哪个实数是方程2x－1＝3的解？并给出方程的解的概念．
A．0 B．1 C．2 D．3
活动2 探究新知
根据题意列方程．
1．教材第2页 问题1.
提出问题：
(1)正方形的大小由什么量决定？本题应该设哪个量为未知数？
(2)本题中有什么数量关系？能利用这个数量关系列方程吗？怎么列方程？
(3)这个方程能整理为比较简单的形式吗？请说出整理之后的方程．
2．教材第2页 问题2.
提出问题：
(1)本题中有哪些量？由这些量可以得到什么？
(2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系？如果有5个队参赛，每个队比赛几场？一共有20场比赛吗？如果不是20场比赛，那么究竟比赛多少场？
(3)如果有x个队参赛，一共比赛多少场呢？
3．一个数比另一个数大3，且两个数之积为0，求这两个数．
提出问题：
本题需要设两个未知数吗？如果可以设一个未知数，那么方程应该怎么列？
4．一个正方形的面积的2倍等于25，这个正方形的边长是多少？
活动3 归纳概念
提出问题：
(1)上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点？
(2)类比一元一次方程，我们可以给这一类方程取一个什么名字？
(3)归纳一元二次方程的概念．
1．一元二次方程：只含有________个未知数，并且未知数的次数是________，这样的________方程，叫做一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
提出问题：
(1)一元二次方程的一般形式有什么特点？等号的左、右分别是什么？
(2)为什么要限制a≠0，b，c可以为0吗？
(3)2x2－x＋1＝0的一次项系数是1吗？为什么？
3．一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(根)．
活动4 例题与练习
例1 在下列方程中，属于一元二次方程的是________．
(1)4x2＝81；(2)2x2－1＝3y；(3)1x2＋1x＝2；
(4)2x2－2x(x＋7)＝0.
总结：判断一个方程是否是一元二次方程的依据：(1)整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)含有未知数的项的次数是2.注意有些方程化简前含有二次项，但是化简后二次项系数为0，这样的方程不是一元二次方程．
例2 教材第3页 例题．
例3 以－2为根的一元二次方程是( )
A．x2＋2x－1＝0 B．x2－x－2＝0
C．x2＋x＋2＝0 D．x2＋x－2＝0
总结：判断一个数是否为方程的解，可以将这个数代入方程，判断方程左、右两边的值是否相等．
练习：
1．若(a－1)x2＋3ax－1＝0是关于x的一元二次方程，那么a的取值范围是________．
2．将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)4x2＝81；(2)(3x－2)(x＋1)＝8x－3.
3．教材第4页 练习第2题．
4．若－4是关于x的一元二次方程2x2＋7x－k＝0的一个根，则k的值为________．
答案：1.a≠1；2.略；3.略；4.k＝4.
活动5 课堂小结与作业布置
课堂小结
我们学习了一元二次方程的哪些知识？一元二次方程的一般形式是什么？一般形式中有什么限制？你能解一元二次方程吗？
作业布置
教材第4页 习题21.1第1～7题.21.2 解一元二次方程
21．2.1 配方法(3课时)
第1课时 直接开平方法
理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．
提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2＋c＝0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a(ex＋f)2＋c＝0型的一元二次方程．
重点
运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程，领会降次——转化的数学思想．
难点
通过根据平方根的意义解形如x2＝n的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．
一、复习引入
学生活动：请同学们完成下列各题．
问题1：填空
(1)x2－8x＋________＝(x－________)2；(2)9x2＋12x＋________＝(3x＋________)2；(3)x2＋px＋________＝(x＋________)2.
解：根据完全平方公式可得：(1)16 4；(2)4 2；(3)(p2)2 p2.
问题2：目前我们都学过哪些方程？二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？
二、探索新知
上面我们已经讲了x2＝9，根据平方根的意义，直接开平方得x＝±3，如果x换元为2t＋1，即(2t＋1)2＝9，能否也用直接开平方的方法求解呢？
(学生分组讨论)
老师点评：回答是肯定的，把2t＋1变为上面的x，那么2t＋1＝±3
即2t＋1＝3，2t＋1＝－3
方程的两根为t1＝1，t2＝－2
例1 解方程：(1)x2＋4x＋4＝1 (2)x2＋6x＋9＝2
分析：(1)x2＋4x＋4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x＋2)2＝1.
(2)由已知，得：(x＋3)2＝2
直接开平方，得：x＋3＝±2
即x＋3＝2，x＋3＝－2
所以，方程的两根x1＝－3＋2，x2＝－3－2
解：略．
例2 市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m2提高到14.4 m2，求每年人均住房面积增长率．
分析：设每年人均住房面积增长率为x，一年后人均住房面积就应该是10＋10x＝10(1＋x)；二年后人均住房面积就应该是10(1＋x)＋10(1＋x)x＝10(1＋x)2
解：设每年人均住房面积增长率为x，
则：10(1＋x)2＝14.4
(1＋x)2＝1.44
直接开平方，得1＋x＝±1.2
即1＋x＝1.2，1＋x＝－1.2
所以，方程的两根是x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2
因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2＝－2.2应舍去．
所以，每年人均住房面积增长率应为20%.
(学生小结)老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？
共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．
三、巩固练习
教材第6页 练习．
四、课堂小结
本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程，那么x＝±p转化为应用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程，那么mx＋n＝±p，达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解．
五、作业布置
教材第16页 复习巩固1.第2课时 配方法的基本形式
理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．
通过复习可直接化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的一元二次方程的解题步骤．
重点
讲清直接降次有困难，如x2＋6x－16＝0的一元二次方程的解题步骤．
难点
将不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．
一、复习引入
(学生活动)请同学们解下列方程：
(1)3x2－1＝5 (2)4(x－1)2－9＝0 (3)4x2＋16x＋16＝9 (4)4x2＋16x＝－7
老师点评：上面的方程都能化成x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得
x＝±p或mx＋n＝±p(p≥0)．
如：4x2＋16x＋16＝(2x＋4)2，你能把4x2＋16x＝－7化成(2x＋4)2＝9吗？
二、探索新知
列出下面问题的方程并回答：
(1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？
(2)能否直接用上面前三个方程的解法呢？
问题：要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，求场地的长和宽各是多少？
(1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有此特征．
(2)不能．
既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：
x2＋6x－16＝0移项→x2＋6x＝16
两边加(6/2)2使左边配成x2＋2bx＋b2的形式→x2＋6x＋32＝16＋9
左边写成平方形式→(x＋3)2＝25降次→x＋3＝±5即x＋3＝5或x＋3＝－5
解一次方程→x1＝2，x2＝－8
可以验证：x1＝2，x2＝－8都是方程的根，但场地的宽不能是负值，所以场地的宽为2 m，长为8 m.
像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．
可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．
例1 用配方法解下列关于x的方程：
(1)x2－8x＋1＝0 (2)x2－2x－12＝0
分析：(1)显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；(2)同上．
解：略．
三、巩固练习
教材第9页 练习1，2.(1)(2)．
四、课堂小结
本节课应掌握：
左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．
五、作业布置
教材第17页 复习巩固2，3.(1)(2)．第3课时 配方法的灵活运用
了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．
通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目．
重点
讲清配方法的解题步骤．
难点
对于用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，通常把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方；对于二次项系数不为1的一元二次方程，要先化二次项系数为1，再用配方法求解．
一、复习引入
(学生活动)解下列方程：
(1)x2－4x＋7＝0 (2)2x2－8x＋1＝0
老师点评：我们上一节课，已经学习了如何解左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程以及不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题．
解：略． (2)与(1)有何关联？
二、探索新知
讨论：配方法解一元二次方程的一般步骤：
(1)先将已知方程化为一般形式；
(2)化二次项系数为1；
(3)常数项移到右边；
(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；
(5)变形为(x＋p)2＝q的形式，如果q≥0，方程的根是x＝－p±q；如果q＜0，方程无实根．
例1 解下列方程：
(1)2x2＋1＝3x (2)3x2－6x＋4＝0 (3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0
分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方式．
解：略．
三、巩固练习
教材第9页 练习2.
四、课堂小结
本节课应掌握：
1．配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．
2．配方法是解一元二次方程的通法，它的重要性，不仅仅表现在一元二次方程的解法中，也可通过配方，利用非负数的性质判断代数式的正负性．在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到．
五、作业布置
教材第17页 复习巩固3.(3)(4)．
补充：(1)已知x2＋y2＋z2－2x＋4y－6z＋14＝0，求x＋y＋z的值．
(2)求证：无论x，y取任何实数，多项式x2＋y2－2x－4y＋16的值总是正数.21.2.2 公式法
理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．
复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式的推导，并应用公式法解一元二次方程．
重点
求根公式的推导和公式法的应用．
难点
一元二次方程求根公式的推导．
一、复习引入
1．前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程
(1)x2＝4 (2)(x－2)2＝7
提问1 这种解法的(理论)依据是什么？
提问2 这种解法的局限性是什么？(只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程．)
2．面对这种局限性，怎么办？(使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式．)
(学生活动)用配方法解方程 2x2＋3＝7x
(老师点评)略
总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结，老师点评)．
(1)先将已知方程化为一般形式；
(2)化二次项系数为1；
(3)常数项移到右边；
(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；
(5)变形为(x＋p)2＝q的形式，如果q≥0，方程的根是x＝－p±q；如果q＜0，方程无实根．
二、探索新知
用配方法解方程：
(1)ax2－7x＋3＝0 (2)ax2＋bx＋3＝0
如果这个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．
问题：已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，试推导它的两个根x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b－b2－4ac2a(这个方程一定有解吗？什么情况下有解？)
分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a，b，c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．
解：移项，得：ax2＋bx＝－c
二次项系数化为1，得x2＋bax＝－ca
配方，得：x2＋bax＋(b2a)2＝－ca＋(b2a)2
即(x＋b2a)2＝b2－4ac4a2
∵4a2>0，当b2－4ac≥0时，b2－4ac4a2≥0
∴(x＋b2a)2＝(b2－4ac2a)2
直接开平方，得：x＋b2a＝±b2－4ac2a
即x＝－b±b2－4ac2a
∴x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b－b2－4ac2a
由上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根由方程的系数a，b，c而定，因此：
(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0，当b2－4ac≥0时，将a，b，c代入式子x＝－b±b2－4ac2a就得到方程的根．
(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
公式的理解
(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．
例1 用公式法解下列方程：
(1)2x2－x－1＝0 (2)x2＋1.5＝－3x
(3)x2－2x＋12＝0 (4)4x2－3x＋2＝0
分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．
补：(5)(x－2)(3x－5)＝0
三、巩固练习
教材第12页 练习1.(1)(3)(5)或(2)(4)(6)．
四、课堂小结
本节课应掌握：
(1)求根公式的概念及其推导过程；
(2)公式法的概念；
(3)应用公式法解一元二次方程的步骤：1)将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0；2)找出系数a，b，c，注意各项的系数包括符号；3)计算b2－4ac，若结果为负数，方程无解；4)若结果为非负数，代入求根公式，算出结果．
(4)初步了解一元二次方程根的情况．
五、作业布置
教材第17页 习题4，5.21.2.3 因式分解法
掌握用因式分解法解一元二次方程．
通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法——因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．
重点
用因式分解法解一元二次方程．
难点
让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题更简便．
一、复习引入
(学生活动)解下列方程：
(1)2x2＋x＝0(用配方法) (2)3x2＋6x＝0(用公式法)
老师点评：(1)配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为12，12的一半应为14，因此，应加上(14)2，同时减去(14)2.(2)直接用公式求解．
二、探索新知
(学生活动)请同学们口答下面各题．
(老师提问)(1)上面两个方程中有没有常数项？
(2)等式左边的各项有没有共同因式？
(学生先答，老师解答)上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解．
因此，上面两个方程都可以写成：
(1)x(2x＋1)＝0 (2)3x(x＋2)＝0
因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是(1)x＝0或2x＋1＝0，所以x1＝0，x2＝－12.
(2)3x＝0或x＋2＝0，所以x1＝0，x2＝－2.(以上解法是如何实现降次的？)
因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．
例1 解方程：
(1)10x－4.9x2＝0 (2)x(x－2)＋x－2＝0 (3)5x2－2x－14＝x2－2x＋34 (4)(x－1)2＝(3－2x)2
思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？
解：略 (方程一边为0，另一边可分解为两个一次因式乘积．)
练习：下面一元二次方程解法中，正确的是( )
A．(x－3)(x－5)＝10×2，∴x－3＝10，x－5＝2，∴x1＝13，x2＝7
B．(2－5x)＋(5x－2)2＝0，∴(5x－2)(5x－3)＝0，∴x1＝25，x2＝35
C．(x＋2)2＋4x＝0，∴x1＝2，x2＝－2
D．x2＝x，两边同除以x，得x＝1
三、巩固练习
教材第14页 练习1，2.
四、课堂小结
本节课要掌握：
(1)用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用．
(2)因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.
五、作业布置
教材第17页 习题6，8，10，11.21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
1．掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．
2．培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．
3．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律．
4．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．
重点
根与系数的关系及其推导
难点
正确理解根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系．
一、复习引入
1．已知方程x2－ax－3a＝0的一个根是6，则求a及另一个根的值．
2．由上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系．其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有更简洁的关系？
3．由求根公式可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b－b2－4ac2a.观察两式右边，分母相同，分子是－b＋b2－4ac与－b－b2－4ac.两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系？
二、探索新知
解下列方程，并填写表格：
方程 x1 x2 x1＋x2 x1•x2
x2－2x＝0
x2＋3x－4＝0
x2－5x＋6＝0
观察上面的表格，你能得到什么结论？
(1)关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q为常数，p2－4q≥0)的两根x1，x2与系数p，q之间有什么关系？
(2)关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根x1，x2与系数a，b，c之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？
解下列方程，并填写表格：
方程 x1 x2 x1＋x2 x1•x2
2x2－7x－4＝0
3x2＋2x－5＝0
5x2－17x＋6＝0
小结：根与系数关系：
(1)关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q为常数，p2－4q≥0)的两根x1，x2与系数p，q的关系是：x1＋x2＝－p，x1•x2＝q(注意：根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零．)
(2)形如ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的方程，可以先将二次项系数化为1，再利用上面的结论．
即：对于方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
∵a≠0，∴x2＋bax＋ca＝0
∴x1＋x2＝－ba，x1•x2＝ca
(可以利用求根公式给出证明)
例1 不解方程，写出下列方程的两根和与两根积：
(1)x2－3x－1＝0 (2)2x2＋3x－5＝0
(3)13x2－2x＝0 (4)2x2＋6x＝3
(5)x2－1＝0 (6)x2－2x＋1＝0
例2 不解方程，检验下列方程的解是否正确？
(1)x2－22x＋1＝0 (x1＝2＋1，x2＝2－1)
(2)2x2－3x－8＝0 (x1＝7＋734，x2＝5－734)
例3 已知一元二次方程的两个根是－1和2，请你写出一个符合条件的方程．(你有几种方法？)
例4 已知方程2x2＋kx－9＝0的一个根是－3，求另一根及k的值．
变式一：已知方程x2－2kx－9＝0的两根互为相反数，求k；
变式二：已知方程2x2－5x＋k＝0的两根互为倒数，求k.
三、课堂小结
1．根与系数的关系．
2．根与系数关系使用的前提是：(1)是一元二次方程；(2)判别式大于等于零．
四、作业布置
1．不解方程，写出下列方程的两根和与两根积．
(1)x2－5x－3＝0 (2)9x＋2＝x2 (3)6x2－3x＋2＝0
(4)3x2＋x＋1＝0
2．已知方程x2－3x＋m＝0的一个根为1，求另一根及m的值．
3．已知方程x2＋bx＋6＝0的一个根为－2，求另一根及b的值.21.3 实际问题与一元二次方程(2课时)
第1课时 解决代数问题
1．经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤．
2．通过学生自主探究，会根据传播问题、百分率问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤．
3．通过实际问题的解答，让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准．
重点
利用一元二次方程解决传播问题、百分率问题．
难点
如果理解传播问题的传播过程和百分率问题中的增长(降低)过程，找到传播问题和百分率问题中的数量关系．
一、引入新课
1．列方程解应用题的基本步骤有哪些？应注意什么？
2．科学家在细胞研究过程中发现：
(1)一个细胞一次可分裂成2个，经过3次分裂后共有多少个细胞？
(2)一个细胞一次可分裂成x个，经过3次分裂后共有多少个细胞？
(3)如是一个细胞一次可分裂成2个，分裂后原有细胞仍然存在并能再次分裂，试问经过3次分裂后共有多少个细胞？
二、教学活动
活动1：自学教材第19页探究1，思考教师所提问题．
有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(1)如何理解“两轮传染”？如果设每轮传染中平均一个人传染了x个人，第一轮传染后共有________人患流感．第二轮传染后共有________人患流感．
(2)本题中有哪些数量关系？
(3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？
解答：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意第一轮传染后有(x＋1)人患了流感，第二轮有x(1＋x)人被传染上了流感．于是可列方程：
1＋x＋x(1＋x)＝121
解方程得x1＝10，x2＝－12(不合题意舍去)
因此每轮传染中平均一个人传染了10个人．
变式练习：如果按这样的传播速度，三轮传染后有多少人患了流感？
活动2：自学教材第19页～第20页探究2，思考老师所提问题．
两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
(1)如何理解年平均下降额与年平均下降率？它们相等吗？
(2)若设甲种药品年平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了________元，此时成本为________元；两年后，甲种药品下降了________元，此时成本为________元．
(3)增长率(下降率)公式的归纳：设基准数为a，增长率为x，则一月(或一年)后产量为a(1±x)；
二月(或二年)后产量为a(1±x)2；
n月(或n年)后产量为a(1±x)n；
如果已知n月(n年)后总产量为M，则有下面等式：M＝a(1±x)n.
(4)对甲种药品而言根据等量关系列方程为：________________.
三、课堂小结与作业布置
课堂小结
1．列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答．最后要检验根是否符合实际．
2．传播问题解决的关键是传播源的确定和等量关系的建立．
3．若平均增长(降低)率为x，增长(或降低)前的基准数是a，增长(或降低)n次后的量是b，则有：a(1±x)n＝b(常见n＝2)．
4．成本下降额较大的药品，它的下降率不一定也较大，成本下降额较小的药品，它的下降率不一定也较小．
作业布置
教材第21－22页 习题21.3第2－7题．第2课时 解决几何问题
1．通过探究，学会分析几何问题中蕴含的数量关系，列出一元二次方程解决几何问题．
2．通过探究，使学生认识在几何问题中可以将图形进行适当变换，使列方程更容易．
3．通过实际问题的解答，再次让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准．
重点
通过实际图形问题，培养学生运用一元二次方程分析和解决几何问题的能力．
难点
在探究几何问题的过程中，找出数量关系，正确地建立一元二次方程．
活动1 创设情境
1．长方形的周长________，面积________，长方体的体积公式________．
2．如图所示：
(1)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为2 cm的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是________，高是________，体积是________．
(2)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为x cm的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是________，高是________，体积是________．
活动2 自学教材第20页～第21页探究3，思考老师所提问题
要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1 cm)．
(1)要设计书本封面的长与宽的比是________，则正中央矩形的长与宽的比是________．
(2)为什么说上下边衬宽与左右边衬宽之比为9∶7？试与同伴交流一下．
(3)若设上、下边衬的宽均为9x cm，左、右边衬的宽均为7x cm，则中央矩形的长为________cm，宽为________cm，面积为________cm2.
(4)根据等量关系：________，可列方程为：________.
(5)你能写出解题过程吗？(注意对结果是否合理进行检验．)
(6)思考如果设正中央矩形的长与宽分别为9x cm和7x cm，你又怎样去求上下、左右边衬的宽？
活动3 变式练习
如图所示，在一个长为50米，宽为30米的矩形空地上，建造一个花园，要求花园的面积占整块面积的75%，等宽且互相垂直的两条路的面积占25%，求路的宽度．
答案：路的宽度为5米．
活动4 课堂小结与作业布置
课堂小结
1．利用已学的特殊图形的面积(或体积)公式建立一元二次方程的数学模型，并运用它解决实际问题的关键是弄清题目中的数量关系．
2．根据面积与面积(或体积)之间的等量关系建立一元二次方程，并能正确解方程，最后对所得结果是否合理要进行检验．
作业布置
教材第22页 习题21.3第8，10题．
第二十二章 二次函数
22．1 二次函数的图象和性质
22．1.1 二次函数
1．从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系．
2．理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式．
3．会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围．
重点
二次函数的概念和解析式．
难点
本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力．
一、创设情境，导入新课
问题1 现有一根12 m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使矩形的面积？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积，他说的有道理吗？
问题2 很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到点时的高度？
这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”(板书课题)．
二、合作学习，探索新知
请用适当的函数解析式表示下列情景中的两个变量y与x之间的关系：
(1)圆的半径x(cm)与面积y(cm2)；
(2)王先生存入银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为x，两年后王先生共得本息y元；
(3)拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为120 m，室内通道的尺寸如图，设一条边长为x (m)，种植面积为y(m2)．
(一)教师组织合作学习活动：
1．先个体探求，尝试写出y与x之间的函数解析式．
2．上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨．
(1)y＝πx2 (2)y＝20000(1＋x)2＝20000x2＋40000x＋20000 (3)y＝(60－x－4)(x－2)＝－x2＋58x－112
(二)上述三个函数解析式具有哪些共同特征？
让学生充分发表意见，提出各自看法．
教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具有y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的形式．
板书：我们把形如y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数(quadratic function)，称a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．
请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项．
三、做一做
1．下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y＝x2 (2)y＝－1x2 (3)y＝2x2－x－1
(4)y＝x(1－x) (5)y＝(x－1)2－(x＋1)(x－1)
2．分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1)y＝x2＋1 (2)y＝3x2＋7x－12 (3)y＝2x(1－x)
3．若函数y＝(m2－1)xm2－m为二次函数，则m的值为________．
四、课堂小结
反思提高，本节课你有什么收获？
五、作业布置
教材第41页 第1，2题.22.1.2 二次函数y＝ax2的图象和性质
通过画图，了解二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是一条抛物线，理解其顶点为何是原点，对称轴为何是y轴，开口方向为何向上(或向下)，掌握其顶点、对称轴、开口方向、最值和增减性与解析式的内在关系，能运用相关性质解决有关问题．
重点
从“数”(解析式)和“形”(图象)的角度理解二次函数y＝ax2的性质，掌握二次函数解析式y＝ax2与函数图象的内在关系．
难点
画二次函数y＝ax2的图象．
一、引入新课
1．下列哪些函数是二次函数？哪些是一次函数？
(1)y＝3x－1 (2)y＝2x2＋7 (3)y＝x－2
(4)y＝3(x－1)2＋1
2．一次函数的图象，正比例函数的图象各是怎样的呢？它们各有什么特点，又有哪些性质呢？
3．上节课我们学习了二次函数的概念，掌握了它的一般形式，这节课我们先来探究二次函数中最简单的y＝ax2的图象和性质．
二、教学活动
活动1：画函数y＝－x2的图象．
(1)多媒体展示画法(列表，描点，连线)．
(2)提出问题：它的形状类似于什么？
(3)引出一般概念：抛物线，抛物线的对称轴、顶点．
活动2：在坐标纸上画函数y＝－0.5x2，y＝－2x2的图象．
(1)教师巡视，展示学生的作品并进行点拨；教师再用多媒体课件展示正确的画图过程．
(2)引导学生观察二次函数y＝－0.5x2，y＝－2x2与函数y＝－x2的图象，提出问题：它们有什么共同点和不同点？
(3)归纳总结：
共同点：①它们都是抛物线；②除顶点外都处于x轴的下方；③开口向下；④对称轴是y轴；⑤顶点都是原点(0，0)．
不同点：开口大小不同．
(4)教师强调指出：这三个特殊的二次函数y＝ax2是当a＜0时的情况．系数a越大，抛物线开口越大．
活动3：在同一个直角坐标系中画函数y＝x2，y＝0.5x2，y＝2x2的图象．
类似活动2：让学生归纳总结出这些图象的共同点和不同点，再进一步提炼出二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和性质．
二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和性质
图象
(草图) 开口
方向 顶
点 对称轴 或
最低点 最值
a＞0当x＝____时，
y有最____值，
是________.
a＜0当x＝____时，
y有最____值，
是________.
活动4：达标检测
(1)函数y＝－8x2的图象开口向________，顶点是________，对称轴是________，当x________时，y随x的增大而减小．
(2)二次函数y＝(2k－5)x2的图象如图所示，则k的取值范围为________．
(3)如图，①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2.比较a，b，c，d的大小，用“＞”连接________．
答案：(1)下，(0，0)，x＝0，＞0；(2)k＞2.5；(3)a＞b＞d＞c.
三、课堂小结与作业布置
课堂小结
1．二次函数的图象都是抛物线．
2．二次函数y＝ax2的图象性质：
(1)抛物线y＝ax2的对称轴是y轴，顶点是原点．
(2)当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的点；|a|越大，抛物线的开口越小．
作业布置
教材第32页 练习．
22．1.3 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
1．经历二次函数图象平移的过程；理解函数图象平移的意义．
2．了解y＝ax2，y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k三类二次函数图象之间的关系．
3．会从图象的平移变换的角度认识y＝a(x－h)2＋k型二次函数的图象特征．
重点
从图象的平移变换的角度认识y＝a(x－h)2＋k型二次函数的图象特征．
难点
对于平移变换的理解和确定，学生较难理解．
一、复习引入
二次函数y＝ax2的图象和特征：
1．名称________；2.顶点坐标________；3.对称轴________；4.当a＞0时，抛物线的开口向________，顶点是抛物线上的最________点，图象在x轴的________(除顶点外)；当a＜0时，抛物线的开口向________，顶点是抛物线上的最________点，图象在x轴的________(除顶点外)．
二、合作学习
在同一坐标系中画出函数y＝12x2，y＝12(x＋2)2，y＝12(x－2)2的图象．
(1)请比较这三个函数图象有什么共同特征？
(2)顶点和对称轴有什么关系？
(3)图象之间的位置能否通过适当的变换得到？
(4)由此，你发现了什么？
三、探究二次函数y＝ax2和y＝a(x－h)2图象之间的关系
1．结合学生所画图象，引导学生观察y＝12(x＋2)2与y＝12x2的图象位置关系，直观得出y＝12x2的图象――→向左平移两个单位y＝12(x＋2)2的图象．
教师可以采取以下措施：①借助几何画板演示几个对应点的位置关系，如：
(0，0)――→向左平移两个单位(－2，0)；
(2，2)――→向左平移两个单位(0，2)；
(－2，2)――→向左平移两个单位(－4，2)．
②也可以把这些对应点在图象上用彩色粉笔标出，并用带箭头的线段表示平移过程．
2．用同样的方法得出y＝12x2的图象――→向右平移两个单位y＝12(x－2)2的图象．
3．请你总结二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质．
y＝ax2(a≠0)的图象――→当h＞0时，向右平移h个单位当h＜0时，向左平移|h|个单位y＝a(x－h)2的图象．
函数y＝a(x－h)2的图象的顶点坐标是(h，0)，对称轴是直线x＝h.
4．做一做
(1)
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y＝2(x＋3)2
y＝－3(x－1)2
y＝－4(x－3)2
(2)填空：
①抛物线y＝2x2向________平移________个单位可得到y＝2(x＋1)2；
②函数y＝－5(x－4)2的图象可以由抛物线________向________平移________个单位而得到．
四、探究二次函数y＝a(x－h)2＋k和y＝ax2图象之间的关系
1．在上面的平面直角坐标系中画出二次函数y＝12(x＋2)2＋3的图象．
首先引导学生观察比较y＝12(x＋2)2与y＝12(x＋2)2＋3的图象关系，直观得出：y＝12(x＋2)2的图象――→向上平移3个单位y＝12(x＋2)2＋3的图象．(结合多媒体演示)
再引导学生观察刚才得到的y＝12x2的图象与y＝12(x＋2)2的图象之间的位置关系，由此得出：只要把抛物线y＝12x2先向左平移2个单位，在向上平移3个单位，就可得到函数y＝12(x＋2)2＋3的图象．
2．做一做：请填写下表：
函数解析式 图象的对称轴 图象的顶点坐标
y＝12x2
y＝12(x＋2)2
y＝12(x＋2)2＋3
3.总结y＝a(x－h)2＋k的图象和y＝ax2图象的关系
y＝ax2(a≠0)的图象――→当h＞0时，向右平移h个单位当h＜0时，向左平移|h|个单位y＝a(x－h)2的图象――→当k＞0时，向上平移k个单位当k＜0时，向下平移|k|个单位y＝a(x－h)2＋k的图象．
y＝a(x－h)2＋k的图象的对称轴是直线x＝h，顶点坐标是(h，k)．
口诀：(h，k)正负左右上下移(h左加右减，k上加下减)
从二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象可以看出：
如果a＞0，当x＜h时，y随x的增大而减小，当x＞h时，y随x的增大而增大；如果a＜0，当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小．
4．练习：课本第37页 练习
五、课堂小结
1．函数y＝a(x－h)2＋k的图象和函数y＝ax2图象之间的关系．
2．函数y＝a(x－h)2＋k的图象在开口方向、顶点坐标和对称轴等方面的性质．
六、作业布置
教材第41页 第5题22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质(2课时)
第1课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
1．掌握用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象．
2．掌握用图象或通过配方确定抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口方向、对称轴和顶点坐标．
3．经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及配方的过程，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质．
重点
通过图象和配方描述二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质．
难点
理解二次函数一般形式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的配方过程，发现并总结y＝ax2＋bx＋c与y＝a(x－h)2＋k的内在关系．
一、导入新课
1．二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象，可以由函数y＝ax2的图象先向________平移________个单位，再向________平移________个单位得到．
2．二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向________，对称轴是________，顶点坐标是________．
3．二次函数y＝12x2－6x＋21，你能很容易地说出它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？
二、教学活动
活动1：通过配方，确定抛物线y＝12x2－6x＋21的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．
(1)多媒体展示画法(列表，描点，连线)；
(2)提出问题：它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？
(3)引导学生合作、讨论观察图象：在对称轴的左右两侧，抛物线从左往右的变化趋势．
活动2：1.不画出图象，你能直接说出函数y＝－x2＋2x－3的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？
2．你能画出函数y＝－x2＋2x－3的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗？
(1)在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导；
(2)抽一位或两位同学板演，学生自纠，老师点评；
(3)让学生思考函数的值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系？这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系？
活动3：对于任意一个二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标？你能把结果写出来吗？
(1)组织学生分组讨论，教师巡视；
(2)各组选派代表发言，全班交流，达成共识，抽学生板演配方过程；教师课件展示二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)和y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象．
(3)引导学生观察二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，在对称轴的左右两侧，y随x的增大有什么变化规律？
(4)引导学生归纳总结二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质．
活动4：已知抛物线y＝x2－2ax＋9的顶点在坐标轴上，求a的值．
活动5：检测反馈
1．填空：
(1)抛物线y＝x2－2x＋2的顶点坐标是________；
(2)抛物线y＝2x2－2x－1的开口________，对称轴是________；
(3)二次函数y＝ax2＋4x＋a的值是3，则a＝________.
2．写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(1)y＝3x2＋2x；(2)y＝－2x2＋8x－8.
3．求二次函数y＝mx2＋2mx＋3(m＞0)的图象的对称轴，并说出该图象具有哪些性质．
4．抛物线y＝ax2＋2x＋c的顶点是(－1，2)，则a，c的值分别是多少？
答案：1.(1)(1，1)；(2)向上，x＝12；(3)－1；2.(1)开口向上，x＝－13，(－13，－13)；(2)开口向下，x＝2，(2，0)；3.对称轴x＝－1，当m＞0时，开口向上，顶点坐标是(－1，3－m)；4.a＝1，c＝3.
三、课堂小结与作业布置
课堂小结
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质．
作业布置
教材第41页 第6题．第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式
1．掌握二次函数解析式的三种形式，并会选用不同的形式，用待定系数法求二次函数的解析式．
2．能根据二次函数的解析式确定抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，最值和增减性．
3．能根据二次函数的解析式画出函数的图象，并能从图象上观察出函数的一些性质．
重点
二次函数的解析式和利用函数的图象观察性质．
难点
利用图象观察性质．
一、复习引入
1．抛物线y＝－2(x＋4)2－5的顶点坐标是________，对称轴是________，在________________侧，即x________－4时，y随着x的增大而增大；在________________侧，即x________－4时，y随着x的增大而减小；当x＝________时，函数y最________值是________．
2．抛物线y＝2(x－3)2＋6的顶点坐标是________，对称轴是________，在________________侧，即x________3时，y随着x的增大而增大；在________________侧，即x________3时，y随着x的增大而减小；当x＝________时，函数y最________值是________．
二、例题讲解
例1 根据下列条件求二次函数的解析式：
(1)函数图象经过点A(－3，0)，B(1，0)，C(0，－2)；
(2)函数图象的顶点坐标是(2，4)，且经过点(0，1)；
(3)函数图象的对称轴是直线x＝3，且图象经过点(1，0)和(5，0)．
说明：本题给出求抛物线解析式的三种解法，关键是看题目所给条件．一般来说：任意给定抛物线上的三个点的坐标，均可设一般式去求；若给定顶点坐标(或对称轴或最值)及另一个点坐标，则可设顶点式较为简单；若给出抛物线与x轴的两个交点坐标，则用分解式较为快捷．
例2 已知函数y＝x2－2x－3，
(1)把它写成y＝a(x－h)2＋k的形式；并说明它是由怎样的抛物线经过怎样平移得到的？
(2)写出函数图象的对称轴、顶点坐标、开口方向、最值；
(3)求出图象与坐标轴的交点坐标；
(4)画出函数图象的草图；
(5)设图象交x轴于A，B两点，交y轴于P点，求△APB的面积；
(6)根据图象草图，说出x取哪些值时，①y＝0；②y<0；③y>0?
说明：(1)对于解决函数和几何的综合题时要充分利用图形，做到线段和坐标的互相转化；
(2)利用函数图象判定函数值何时为正，何时为负，同样也要充分利用图象，要使y<0，其对应的图象应在x轴的下方，自变量x就有相应的取值范围．
例3 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则：
a________0；b________0；c________0；b2－4ac________0.
说明：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与系数a，b，c的符号的关系：
系数的符号 图象特征
a的符号
a>0 抛物线开口向____
a<0 抛物线开口向____
－b2a的符号
－b2a>0
抛物线对称轴在y轴的____侧
b＝0 抛物线对称轴是____轴
－b2a<0
抛物线对称轴在y轴的____侧
c的符号
c>0 抛物线与y轴交于____
c＝0 抛物线与y轴交于____
c<0 抛物线与y轴交于__
