染雾数列教案教学设计 篇一
引言：数列是数学中的重要概念，在中学数学教学中占据着重要的地位。为了帮助学生更好地理解和掌握数列的概念和性质，本教案设计了一系列的教学活动和练习，旨在提高学生对数列的理解和运用能力。
一、教学目标：
1. 知识目标：了解数列的定义和性质，学会寻找数列的通项公式。
2. 能力目标：能够通过观察数列的特点和规律，找出数列的通项公式，并能灵活运用数列性质解决问题。
3. 情感目标：培养学生对数学的兴趣，激发学生思考和探索的能力。
二、教学内容：
1. 数列的定义和性质
2. 寻找数列的通项公式
3. 运用数列性质解决问题
三、教学步骤：
Step 1：导入新知
通过一个实例引入数列的概念，让学生了解数列的定义和性质，并引发学生对数列的思考。
Step 2：数列的通项公式
通过观察一些已知的数列，引导学生发现数列的规律，并找出数列的通项公式。
Step 3：练习与拓展
设计一系列的练习题和拓展题，让学生巩固和拓展对数列的理解和运用能力。
Step 4：归纳总结
让学生总结数列的定义、性质和寻找通项公式的方法，并提醒学生在解题过程中要注意的问题。
四、教学资源：
1. 教学课件
2. 教学实例和练习题
3. 学生练习本
五、教学评价：
1. 通过课堂的教学活动和练习，检验学生对数列的理解和运用能力。
2. 评价学生在解题过程中的思考和探索能力。
数列教案教学设计 篇二
引言：数列是数学中的重要内容之一，对学生的数学思维和逻辑推理能力的发展起着重要的作用。为了提高学生对数列的理解和应用能力，本教案设计了一系列的教学活动和练习，旨在帮助学生更好地掌握数列的概念和性质。
一、教学目标：
1. 知识目标：了解数列的定义和性质，学会寻找数列的通项公式。
2. 能力目标：能够通过观察数列的特点和规律，找出数列的通项公式，并能运用数列性质解决问题。
3. 情感目标：培养学生对数学的兴趣，激发学生思考和探索的能力。
二、教学内容：
1. 数列的定义和性质
2. 寻找数列的通项公式
3. 运用数列性质解决问题
三、教学步骤：
Step 1：导入新知
通过一个实际问题引入数列的概念，让学生了解数列的定义和性质，并激发学生对数列的兴趣和思考。
Step 2：数列的通项公式
通过示例和练习题，引导学生观察数列的特点和规律，找出数列的通项公式。
Step 3：练习与拓展
设计一系列的练习题和拓展题，让学生巩固和拓展对数列的理解和应用能力。
Step 4：归纳总结
让学生总结数列的定义、性质和寻找通项公式的方法，并提醒学生在解题过程中要注意的要点。
四、教学资源：
1. 教学课件
2. 教学实例和练习题
3. 学生练习本
五、教学评价：
1. 通过课堂的教学活动和练习，检验学生对数列的理解和应用能力。
2. 评价学生在解题过程中的思考和推理能力。
数列教案教学设计 篇三
数列教案教学设计
1．考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题．
2．考查等差数列的性质、前n项和公式及综合应用．
【复习指导】
1．掌握等差数列的定义与性质、通项公式、前n项和公式等．
2．掌握等差数列的判断方法，等差数列求和的方法．
基础梳理
1．等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．
2．等差数列的通项公式
若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.
3．等差中项
如果A＝a＋b2A叫做a与b的等差中项．
4．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N)．
(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，
则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N)．
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，?(k，m∈N)是公差为md的等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，?也是等差数列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an.
(6)若n为偶数，则S偶－S奇＝； 2
若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．
5．等差数列的前n项和公式
若已知首项a1和末项an，则Sn＝
前n项和公式为Sn＝na1＋***ndna1＋an2{an}的首项是a1，公差是d，则其nn－12d.
6．等差数列的前n项和公式与函数的关系
dd?Sn＝n2＋?a1n，数列{an}是等差数列的充要条件是Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)． 2?2?
7．最值问题
在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值，若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值． 一个推导
利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：
Sn＝a1＋a2＋a3＋?＋an，①
Sn＝an＋an－1＋?＋a1，②
①＋②得：Sn 两个技巧 已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元．
(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为?，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，?.
(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为?，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，?，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．
四种方法 等差数列的判断方法
(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N)都成立；
(3)通项公式法：验证an＝pn＋q；
(4)前n项和公式法：验证Sn＝An＋Bn.
注 后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．
课堂自测
1．(人教A版教材习题改编)已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于( )．
A．4B．5C．6D．7
解析 a2＋a8＝2a5，∴a5＝6. 答案 C
2．设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于
( )．
A．31B．32C．33D．34 2*??a1＋5d＝2，解析由已知可得??5a1＋10d＝30，? 26a＝，??3解得?4d??31 8×7∴S8＝8a1＋＝32.答案 B 2
3．(2011·江西)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1.那么a10＝( )．
A．1B．9C．10D．55
解析 由Sn＋Sm＝Sn＋m，得S1＋S9＝S10?a10＝S10－S9＝S1＝a1＝1. 答案 A
4．(2012·杭州)设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于( )．
A．13B．35C．49D．63
7解析 ∵a1＋a7＝a2＋a6＝3＋11＝14，∴S7＝a1＋a72＝49.答案 C
5．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________.
解析 设公差为d. 则a5－a2＝3d＝6，∴a6＝a3＋3d＝7＋6＝13. 答案 13
考向一 等差数列基本量的计算
【例1】?(2011·福建)在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．
[审题视点] 第(1)问，求公差d；
第(2)问，由(1)求Sn，列方程可求k.
解 (1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.
由a1＝1，a3＝－3可得1＋2d＝－3.
解得d＝－2.从而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.
(2)由(1)可知an＝3－2n.
所以Sn＝n[1＋3－2n]2＝2n－n.
22进而由Sk＝－35可得2k－k＝－35.
即k－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.
又k∈N，故k＝7为所求．
等差数列的通项公式及前n项和公式中，共涉及五个量，知三可求二，如果已知
两个条件，就可以列出方程组解之．如果利用等差数列的性质、几何意义去考虑也可以．体现了用方程思想解决问题的方法．
【训练1】 (2011·湖北)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．
考向二 等差数列的判定或证明
1【例2】?已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝. 2
?1?(1)求证：?是等差数列； ?Sn?*2
[审题视点] (1)化简所给式子，然后利用定义证明．
(2)根据Sn与an之间关系求an.
(1)证明 ∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)，又an＝－2Sn·Sn－1，
11∴Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0，∴－2(n≥2)． SnSn－1
?1?11由等差数列的定义知?是以2为首项，以2为公差的等差数列．
S1a1?Sn?
等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法，而对于通项公式法和前n项和
公式法主要适合在选择题中简单判断．
【训练2】 已知数列{an}的前n项和Sn是n的二次函数，且a1＝－2，a2＝2，S3＝6.
(1)求Sn；
(2)证明：数列{an}是等差数列．
考向三 等差数列前n项和的最值
【例3】?设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．
[审题视点] 第(1)问：列方程组求a1与d；
第(2)问：由(1)写出前n项和公式，利用函数思想解决．
解 (1)由an＝a1＋(n－1)d及a3＝5，a10＝－9得
??a1＋2d＝5，??a1＋9d＝－9，? ??a1＝9，可解得??d＝－2.?
数列{an}的通项公式为an＝11－2n.
(2)由(1)知，Sn＝na12nn－12＝10n－n2. 因为Sn＝－(n－5)＋25，所以当n＝5时，Sn取得最大值．
求等差数列前n项和的最值，常用的`方法：
(1)利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．
(2)利用等差数列的前n项和Sn＝An＋Bn(A、B为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值．
【训练3】 在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，2Sn取得最大值，并求出它的最大值．
考向四 等差数列性质的应用
【例4】?设等差数列的前n项和为Sn，已知前6项和为36，Sn＝324，最后6项的和为180(n＞6)，求数列的项数n.
[审题视点] 在等差数列 {an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N)用此性质可优化解题过程．
解 由题意可知a1＋a2＋?＋a6＝36① *
an＋an－1＋an－2＋?＋an－5＝180②
①＋②得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋?＋(a6＋an－5)＝6(a1＋an)＝216. ∴a1＋an＝36.又Sn＝
∴18n＝324.
∴n＝
18.
本题的解题关键是将性质m＋n＝p＋q?am＋an＝ap＋aq与前n项和公式Sn＝na1＋an2324，
na1＋an2结合在一起，采用整体思想，简化解题过程．
【训练4】 (1)设数列{an}的首项a1＝－7，且满足an＋1＝an＋2(n∈N＋)，则a1＋a2＋?＋a17＝________.
(2)等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于________．
【试一试】 已知在正整数数列{an}中，前n项和Sn满足： Sn＝(an＋2)2.
(1)求证：{an}为等差数列．
1(2)若bnan－30.求数列{bn}的前n项和的最小值． 2
12[尝试解答] (1)证明：当n＝1时，S1＝a1＝(a1＋2)， 8
∴(a1－2)＝0，∴a1＝2.
1122当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an＋2)－(an－1＋2)， 88
∴an－an－1＝4，
∴{an}为等差数列．
(2)由(1)知：an＝a1＋(n－1)4＝4n－2，
131由bn＝n－30＝2n－31≤0得n≤22
∴{bn}的前15项之和最小，且最小值为－225.
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