染雾函数数学教案 篇一
在中学数学中，学生们将会接触到各种类型的函数。函数是数学中非常重要的概念，它们能够帮助我们描述和解决各种实际问题。因此，为了帮助学生更好地理解和掌握函数，我设计了以下的函数数学教案。
教案概要：
主题：函数数学教案
目标学生：中学生，高中一年级
时间：2个课时（每个课时45分钟）
教案步骤：
第一课时：
1. 引入函数的概念（10分钟）：通过举例解释函数的定义和特征，引导学生了解函数的基本概念。
2. 基本函数类型介绍（15分钟）：介绍常见的基本函数类型，如线性函数、二次函数、立方函数等，并给出它们的图像和表达式。
3. 函数的图像和性质（15分钟）：通过绘制函数的图像，让学生观察和分析函数的性质，如增减性、奇偶性、周期性等。
4. 函数的运算（5分钟）：介绍函数的四则运算，包括加法、减法、乘法和除法，帮助学生理解函数之间的运算规则。
第二课时：
1. 函数的复合（10分钟）：介绍函数的复合运算，通过例题演示如何计算函数的复合。
2. 函数的反函数（10分钟）：引入函数的反函数概念，解释反函数与原函数之间的关系，并通过图像和例题展示反函数的求解方法。
3. 函数与方程（15分钟）：介绍函数与方程之间的关系，通过实际问题引导学生将问题转化为函数或方程，并解决问题。
4. 综合练习（10分钟）：给学生一些综合性的练习题，帮助他们巩固所学的知识和技能。
5. 总结与反思（5分钟）：总结本节课所学的重点内容，并引导学生思考和反思。
通过这个函数数学教案，学生们将能够了解函数的基本概念和性质，掌握函数的运算和复合运算，理解函数与方程的关系，并能够应用所学的知识解决实际问题。这将有助于他们在以后的学习中更深入地理解和应用函数。
函数数学教案 篇二
在中学数学中，函数是一个重要的概念，它能够帮助我们描述和解决各种实际问题。为了帮助学生更好地理解和掌握函数，我设计了以下的函数数学教案。
教案概要：
主题：函数数学教案
目标学生：中学生，高中二年级
时间：2个课时（每个课时45分钟）
教案步骤：
第一课时：
1. 复习函数的基本概念（10分钟）：通过回顾函数的定义和特征，帮助学生复习所学的内容。
2. 函数的图像和性质（15分钟）：通过绘制函数的图像，让学生观察和分析函数的性质，如增减性、奇偶性、周期性等。
3. 函数的变换（15分钟）：介绍常见的函数变换，如平移、伸缩、翻转等，并通过图像和例题展示变换的规律和效果。
4. 函数的复合（5分钟）：复习函数的复合运算，并通过例题演示如何计算函数的复合。
第二课时：
1. 函数的反函数（10分钟）：复习函数的反函数概念，解释反函数与原函数之间的关系，并通过图像和例题展示反函数的求解方法。
2. 函数与方程（15分钟）：介绍函数与方程之间的关系，通过实际问题引导学生将问题转化为函数或方程，并解决问题。
3. 函数的极值和最值（15分钟）：讲解函数的极值和最值的概念，并通过例题演示如何求解函数的极值和最值。
4. 综合练习（10分钟）：给学生一些综合性的练习题，帮助他们巩固所学的知识和技能。
5. 总结与反思（5分钟）：总结本节课所学的重点内容，并引导学生思考和反思。
通过这个函数数学教案，学生们将能够复习函数的基本概念和性质，掌握函数的变换和复合运算，理解函数与方程的关系，并能够应用所学的知识解决实际问题。这将为他们进一步学习和应用函数打下坚实的基础。
函数数学教案 篇三
教学目标
(一)知道函数图象的意义;
(二)能画出简单函数的图象，会列表、描点、连线;
(三)能从图象上由自变量的值求出对应的函数的近似值。
教学重点和难点
重点：认识函数图象的意义，会对简单的函数列表、描点、连线画出函数图象。
难点：对已恬图象能读图、识图，从图象解释函数变化关系。
教学过程设计
(一)复习
1.什么叫函数?
2.什么叫平面直角坐标系?
3.在坐标平面内，什么叫点的横坐标?什么叫点的纵坐标?
4.如果点A的横坐标为3，纵坐标为5，请用记号表示A(3，5).
5.请在坐标平面内画出A点。
6.如果已知一个点的坐标，可在坐标平面内画出几个点?反过来，如果坐标平面内的一个点确定，这个点的坐标有几个?这样的点和坐标的对应关系，叫做什么对应?(答：叫做坐标平面内的点与有序实数对一一对应)
(二)新课
我们在前几节课已经知道，函数关系可以用解析式表示，像y=2x+1就表示以x 为自变量时，y是x的函数。
这个函数关系中，y与x的函数。
这个函数关系中，y与x的对应关系，我们还可通知在坐标平面内画出图象的方法来表示。
函数数学教案 篇四
教学目标
1.使学生了解反函数的概念,初步掌握求反函数的方法.
2.通过反函数概念的学习,培养学生分析问题,解决问题的能力及抽象概括的能力.
3.通过反函数的学习,帮助学生树立辨证唯物主义的世界观.
教学重点,难点
重点是反函数概念的形成与认识.
难点是掌握求反函数的方法.
教学用具
投影仪
教学方法
自主学习与启发结合法
教学过程
一. 揭示课题
今天我们将学习函数中一个重要的概念----反函数.
1.4. 反函数(板书)
(一)反函数的概念(板书)
二.讲解新课
教师首先提出这样一个问题:在函数 中,如果把 当作因变量,把 当作自变量,能否构成一个函数呢?(让学生思考后回答,要讲明理由)可以根据函数的定义在 的允许取值范围内的任一值,按照法则 都有唯一的 与之相对应.(还可以让学生画出函数的图象,从形的角度解释“任一 对唯一 ”)
学生解释后教师指出不管从哪个角度,它都是一个函数,即 有反函数,而且把这个函数称为 的反函数.那么这个反函数的解析式是什么呢?
由学生回答出应为 .教师再提出 它作为函数是没有问题的,但不太符合我们的表示习惯,按习惯用 表示自变量,用 表示因变量,故它又可以改写成 ,改动之后带来一个新问题: 和 是同一函数吗?
由学生讨论,并说明理由,要求学生能从函数三要素的角度去认识,并给出解释,让学生真正承认它们是同一函数.并把 叫做 的反函数.继而再提出: 有反函数吗？是哪个函数?
学生很快会意识到 是 的反函数,教师可再引申为 与 是互为反函数的.然后利用问题再引申:是不是所有的函数都有反函数呢?如果有,请举出例子.在教师启发下学生可以举出象 这样的函数,若将 当自变量, 当作因变量,在 允许取值范围内一个 可能对两个 (可画图辅助说明,当 时,对应 ),不能构成函数,说明此函数没有反函数.
通过刚才的例子,了解了什么是反函数,把对 的反函数的研究过程一般化,概括起来就可以得到反函数的定义,但这个数学的抽象概括,要求比较高,因此我们一起阅读书上相关的内容.
1. 反函数的定义:(板书)(用投影仪打出反函数的定义)
为了帮助学生理解,还可以把定义中的 换成某个具体简单的函数如 解释每一步骤,如得 ,再判断它是个函数,最后改写为 .给出定义后,再对概念作点深入研究.
2.对概念得理解(板书)
教师先提出问题:反函数的“反”字应当是相对原来给出的函数而言,指的是两者的关系你能否从函数三要素的角度解释“反”的含义呢?(仍可以 与 为例来说)
学生很容易先想到对应法则是“反”过来的,把 与 的位置换位了,教师再追问它们的互换还会带来什么变化?启发学生找出另两个要素之间的关系.最后得出结论: 的定义域和值域分别由 的值域和定义域决定的.再把结论从特殊发展到一般,概括为:反函数的三要素是由原来函数的三要素决定的.给出的函数确定了,反函数的三要素就已经确定了.简记为“三定”.
(1)“三定”(板书)
然后要求学生把刚才的三定具体化,也就是“反”字的具体体现.由学生一一说出反函数的定义域是原来函数的值域,反函数的值域是原来函数的定义域,反函数的对应法则就是
把原来函数对应法则中 与 的位置互换.(用投影仪打出互换过程)如图
最后教师进一步明确“反”实际体现为“三反”, “三反”中起决定作用的是 与 的位置的反置,正是由于它的反置,才把它的范围也带走了,引起了另外两“反”.
(2)“三反”(板书)
此时教师可把问题再次引向深入,提出:如果一个函数存在反函数,应怎样求这个反函数呢?下面我给出两个函数,请同学们根据自己对概念的理解来求一下它们的反函数.
例1. 求 的反函数.(板书)
(由学生说求解过程,有错或不规范之处,暂时不追究,待例2解完之后再一起讲评)
解:由 得 , 所求反函数为 .(板书)
例2. 求 , 的反函数.(板书)
解:由 得 ,又 得 ,
故所求反函数为 .(板书)
求完后教师请同学们作评价,学生之间可以讨论,充分暴露表述中得问题,让学生自行发现,自行解决.最后找代表发表意见,指出例2中问题,结果应为 , .
教师可先明知故问 ,与 , 有什么不同?让学生明确指出两个函数定义域分别是 和 ,所以它们是不同的函数.再追问 从何而来呢?让学生能从三定和三反中找出理由,是从原来函数的值域而来.
在此基础上,教师最后明确要求,由于反函数的定义域必是原来函数的值域,而不是从自身解析式出发寻求满足的条件,所以求反函数,就必须先求出原来函数的值域.之后由学生调整刚才的求解过程.
解: 由 得 ,又 得 ,
又 的值域是 ,
故所求反函数为 , .
(可能有的学生会提出例1中为什么不求原来函数的值域的问题,此时不妨让学生去具体算一算,会发现原来函数的值域域求出的函数解析式中所求定义域时一致的,所以使得最后结果没有出错.但教师必须指出结论得一致性只是偶然,而不是必然,因此为规范求解过程要求大家一定先求原来函数的值域,并且在最后所求结果上注明反函数的定义域,同时让学生调整例的表述,将过程补充完整)
最后让学生一起概括求反函数的步骤.
3.求反函数的步骤(板书)
(1) 反解:
(2) 互换
(3) 改写:
对以上环节教师可稍作解释,然后提出再通过下面的练习来检验是否真正理解了.
三.巩固练习
练习:求下列函数的反函数.
(1) (2) .(由两名学生上黑板写)
解答过程略.
教师可针对学生解答中出现的问题,进行讲评.(如正负的选取,值域的计算,符号的使用)
四.小结
1. 对反函数概念的认识:
2. 求反函数的基本步骤:
五.作业
课本第68页习题2.4第1题中4,6,8,第2题.
六.板书设计
2.4反函数 例1. 练习.
一. 反函数的概念 (1) (2)
1. 定义
2. 对概念的理解 例2.
(1) 三定(2)三反
3. 求反函数的步骤
(1)反解(2)互换(3)改写
函数数学教案 篇五
教学目标：
①掌握对数函数的性质。
②应用对数函数的性质可以解决：对数的大小比较，求复
合函数的定义域、值 域及单调性。
③ 注重函数思想、等价转化、分类讨论等思想的渗透，提高
解题能力。
教学重点与难点：
对数函数的性质的应用。
教学过程设计：
⒈复习提问：对数函数的概念及性质。
⒉开始正课
1 比较数的大小
例 1 比较下列各组数的大小。
⑴loga5。1 ，loga5。9 (a>0，a≠1)
⑵log0。50。6 ，logЛ0。5 ，lnЛ
师：请同学们观察一下⑴中这两个对数有何特征？
生：这两个对数底相等。
师：那么对于两个底相等的对数如何比大小？
生：可构造一个以a为底的对数函数，用对数函数的单调性比大小。
师：对，请叙述一下这道题的解题过程。
生：对数函数的单调性取决于底的大小：当0 调递减，所以loga5。1>loga5。9 ；当a>1时，函数y=logax单调递
增，所以loga5。1 板书： 解：Ⅰ）当0 ∵5。1loga5。9 Ⅱ）当a>1时，函数y=logax在（0，+∞）上是增函数， ∵5。1<5。9 ∴loga5。1 师：请同学们观察一下⑵中这三个对数有何特征？ 生：这三个对数底、真数都不相等。 师：那么对于这三个对数如何比大小？ 生：找“中间量”， log0。50。6>0，lnЛ>0，logЛ0。51，log0。50。6<1，所以logЛ0。5< log0。50。6< lnЛ。 板书：略。 师：比较对数值的大小常用方法：①构造对数函数，直接利用对数函 数 的单调性比大小，②借用“中间量”间接比大小，③利用对数 函数图象的位置关系来比大小。 2 函数的定义域， 值 域及单调性。 例 2 ⑴求函数y=的定义域。 ⑵解不等式log0。2(x2+2x-3)>log0。2(3x+3) 师：如何来求⑴中函数的定义域？（提示：求函数的定义域，就是要 使函数有意义。若函数中含有分母，分母不为零；有偶次根式， 被开方式大于或等于零；若函数中有对数的形式，则真数大于 零，如果函数中同时出现以上几种情况，就要全部考虑进去，求 它们共同作用的结果。） 生：分母2x-1≠0且偶次根式的被开方式log0。8x-1≥0，且真数x>0。 板书： 解：∵ 2x-1≠0 x≠0。5 log0。8x-1≥0 ， x≤0。8 x>0 x>0 ∴x(0，0。5)∪(0。5，0。8〕 师：接下来我们一起来解这个不等式。 分析：要解这个不等式，首先要使这个不等式有意义，即真数大于零， 再根据对数函数的单调性求解。 师：请你写一下这道题的解题过程。 生： 解： x2+2x-3>0 x1 (3x+3)>0 ， x>-1 x2+2x-3<(3x+3) -2 不等式的解为：1 ⒊小结 这堂课主要讲解如何应用对数函数的性质解决一些问题，希望能通过这堂课使同学们对等价转化、分类讨论等思想加以应用，提高解题能力。 ⒋作业 ⑴解不等式 ①lg(x2-3x-4)≥lg(2x+10);②loga(x2-x)≥loga(x+1)，(a为常数) ⑵已知函数y=loga(x2-2x)，(a>0，a≠1) ①求它的单调区间；②当0 ⑶已知函数y=loga (a>0， b>0， 且 a≠1) ①求它的定义域；②讨论它的奇偶性; ③讨论它的单调性。 ⑷已知函数y=loga(ax-1) (a>0，a≠1)， ①求它的定义域； ②当x为何值时，函数值大于1； ③讨论它的单调性。 知识技能目标 1、理解反比例函数的图象是双曲线，利用描点法画出反比例函数的图象，说出它的性质； 2、利用反比例函数的图象解决有关问题。 过程性目标 1、经历对反比例函数图象的观察、分析、讨论、概括过程，会说出它的性质； 2、探索反比例函数的图象的性质，体会用数形结合思想解数学问题。 教学过程 一、创设情境 上节的练习中，我们画出了问题1中函数的图象，发现它并不是直线。那么它是怎么样的曲线呢？本节课，我们就来讨论一般的反比例函数（k是常数，k≠0）的图象，探究它有什么性质。 二、探究归纳 1、画出函数的图象。 分析画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤，在反比例函数中自变量x≠0。 解 1、列表：这个函数中自变量x的取值范围是不等于零的一切实数，列出x与y的对应值： 2、描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出在京各点点（—6，—1）、（—3，—2）、（—2，—3）等。 3、连线：用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来，得到图象的第一个分支；用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来，得到图象的另一个分支。这两个分支合起来，就是反比例函数的图象。 上述图象，通常称为双曲线（hyperbola）。 提问这两条曲线会与x轴、y轴相交吗？为什么？ 学生试一试：画出反比例函数的图象（学生动手画反比函数图象，进一步掌握画函数图象的步骤）。 学生讨论、交流以下问题，并将讨论、交流的结果回答问题。 1、这个函数的图象在哪两个象限？和函数的图象有什么不同？ 2、反比例函数（k≠0）的图象在哪两个象限内？由什么确定？ 3、联系一次函数的性质，你能否总结出反比例函数中随着自变量x的增加，函数y将怎样变化？有什么规律？ 反比例函数有下列性质： （1）当k>0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增加而减少； （2）当k<0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增加而增加。 注 1、双曲线的两个分支与x轴和y轴没有交点； 2、双曲线的两个分支关于原点成中心对称。 以上两点性质在上堂课的问题1和问题2中反映了怎样的实际意义？ 在问题1中反映了汽车比自行车的速度快，小华乘汽车比骑自行车到镇上的时间少。 在问题2中反映了在面积一定的情况下，饲养场的一边越长，另一边越小。 三、实践应用 例1若反比例函数的图象在第二、四象限，求m的值。 分析由反比例函数的定义可知：，又由于图象在二、四象限，所以m+1<0，由这两个条件可解出m的值。 解由题意，得解得。 例2已知反比例函数（k≠0），当x>0时，y随x的增大而增大，求一次函数y=kx—k的图象经过的象限。 分析由于反比例函数（k≠0），当x>0时，y随x的增大而增大，因此k0，所以直线与y轴的交点在x轴的上方。 解因为反比例函数（k≠0），当x>0时，y随x的增大而增大，所以k<0，所以一次函数y=kx—k的图象经过一、二、四象限。 例3已知反比例函数的图象过点（1，—2）。 （1）求这个函数的解析式，并画出图象； （2）若点A（—5，m）在图象上，则点A关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上？ 分析（1）反比例函数的图象过点（1，—2），即当x=1时，y=—2。由待定系数法可求出反比例函数解析式；再根据解析式，通过列表、描点、连线可画出反比例函数的图象； （2）由点A在反比例函数的图象上，易求出m的值，再验证点A关于两坐标轴和原点的对称点是否在图象上。 解（1）设：反比例函数的解析式为：（k≠0）。 而反比例函数的图象过点（1，—2），即当x=1时，y=—2。 所以，k=—2。 即反比例函数的解析式为：。 （2）点A（—5，m）在反比例函数图象上，所以， 点A的坐标为。 点A关于x轴的对称点不在这个图象上； 点A关于y轴的对称点不在这个图象上； 点A关于原点的对称点在这个图象上； 例4已知函数为反比例函数。 （1）求m的值； （2）它的图象在第几象限内？在各象限内，y随x的增大如何变化？ （3）当—3≤x≤时，求此函数的最大值和最小值。 解（1）由反比例函数的定义可知：解得，m=—2。 （2）因为—2<0，所以反比例函数的图象在第二、四象限内，在各象限内，y随x的增大而增大。 （3）因为在第个象限内，y随x的增大而增大， 所以当x=时，y最大值=； 当x=—3时，y最小值=。 所以当—3≤x≤时，此函数的最大值为8，最小值为。 例5一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是y厘米，宽是5厘米，高是x厘米。 （1）写出用高表示长的函数关系式； （2）写出自变量x的取值范围； （3）画出函数的图象。 解（1）因为100=5xy，所以。 （2）x>0。 （3）图象如下： 说明由于自变量x>0，所以画出的反比例函数的图象只是位于第一象限内的一个分支。 四、交流反思 本节课学习了画反比例函数的图象和探讨了反比例函数的性质。 1、反比例函数的图象是双曲线（hyperbola）。 2、反比例函数有如下性质： （1）当k>0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增加而减少； （2）当k<0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增加而增加。 五、检测反馈 1、在同一直角坐标系中画出下列函数的图象： （1）；（2）。 2、已知y是x的反比例函数，且当x=3时，y=8，求： （1）y和x的函数关系式； （2）当时，y的值； （3）当x取何值时，？ 3、若反比例函数的图象在所在象限内，y随x的增大而增大，求n的值。 4、已知反比例函数经过点A（2，—m）和B（n，2n），求： （1）m和n的值； （2）若图象上有两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2），且x1函数数学教案 篇六
