染雾数学求最值方法总结 篇一
在数学中，求最值是一个常见的问题。无论是在代数、几何还是数理统计等领域，我们经常需要找到函数或数据集合中的最大值或最小值。本文将总结一些常用的数学求最值的方法，并给出相应的例子。
1. 寻找函数的最值
对于一个函数而言，要找到它的最大值或最小值，可以通过以下几种方法来实现：
1.1 导数法
如果函数在某个区间内可导，那么最值通常出现在导数为零的点或者导数不存在的点。通过求解导数为零的方程，或者找到导数不存在的点，可以找到函数的极值点，并通过比较函数在这些点处的取值来确定最值。
例如，考虑函数 f(x) = x^2 - 2x + 1，我们可以求导得到 f'(x) = 2x - 2。令 f'(x) = 0，解得 x = 1。因此，函数的极小值出现在 x = 1 处。通过比较函数在 x = 1 处的取值 f(1) = 0，我们可以确定函数的最小值为 0。
1.2 边界法
如果函数在一个闭区间上连续，那么最值通常出现在区间的边界点上。通过计算函数在边界点处的取值，并比较这些值，可以确定最值。
例如，考虑函数 f(x) = x^2 - 2x + 1，要找到它在区间 [0, 2] 上的最小值，我们可以计算函数在端点处的取值 f(0) = 1 和 f(2) = 1，并比较这两个值。因此，函数的最小值为 1，在 x = 0 和 x = 2 处取得。
2. 寻找数据集合的最值
对于一组数据而言，要找到它的最大值或最小值，可以通过以下几种方法来实现：
2.1 遍历法
遍历数据集合中的每个元素，将当前最大值或最小值与当前元素进行比较，更新最值。
例如，考虑数据集合 [3, 1, 4, 2, 5]，要找到它的最大值，我们可以使用遍历法，从左到右依次比较每个元素。初始时，最大值设为列表中的第一个元素 3。然后，依次与后面的元素比较，发现 5 大于当前最大值 3，因此更新最大值为 5。最终，找到的最大值为 5。
2.2 排序法
将数据集合进行排序，然后取排序后的第一个或最后一个元素作为最值。
例如，考虑数据集合 [3, 1, 4, 2, 5]，要找到它的最小值，我们可以使用排序法，将数据集合进行升序排序，得到 [1, 2, 3, 4, 5]。最小值即为排序后的第一个元素，即 1。
综上所述，数学求最值的方法有很多种，其中常用的包括导数法和边界法用于求函数的最值，以及遍历法和排序法用于求数据集合的最值。在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解最值问题。
数学求最值方法总结 篇二
第二篇内容
数学求最值方法总结 篇三
方法一：利用单调性求最值
学习导数以后，为讨论函数的性质开发了前所未有的前景，这不只局限于基本初等函数，凡是由几个或多个基本初等函数加减乘除而得到的新函数都可以用导数作为工具讨论函数单调性，这需要熟练掌握求导公式及求导法则，以及函数单调性与导函数符号之间的`关系，还有利用导数如何求得函数的极值与最值。
例1 已知函数，当x∈[-2，2]时，函数f(x)的图象总在直线y=a-e2的上方，求实数a的取值范围。
分析：此题属于恒成立问题，恒成立问题大都转化为最值问题。
解：原问题等价于f(x)>a-e2恒成立，即x2+ex-xex>a-e2在[-2，2]上恒成立，即x2+ex-xex+e2>a在[-2，2]上恒成立。
令g(x)=x2+ex-xex+e2>a-e2，x∈[-2，2]，原问题等价于a 下面利用导数讨论g(x)的最小值，求导可得g'(x)=x(1-ex)。
当x∈[-2，0]时，g'(x)≤0，从而g(x)在[-2，0]上单调递减;
当x∈(0，2]时，g'(x)<0可知g(x)在(0，2]上也单调递减。
所以g(x)在[-2，2]上单调递减，从而g(x)min=g(2)=2即a∈(-∞，2)
评注：本题是求参数的取值范围问题，利用等价转化的思想可化为不等式恒成立问题，进而化为最值问题，再借助于导数讨论函数的单调性求出的最值。其实高中阶段接触到的最值问题大都可以运用单调性法求得最值。
方法二：利用不等式求最值
掌握和灵活运用，│a│+│b│≥│a±b│≥││a│-│b││这一类型的基本不等式，在求一些函数最值问题时通常十分便捷，在解题时务必注意考虑利用不等式求最值的条件限制 。
例2 若x∈R，且0 分析：本题可以运用单调性法求最值，但是较麻烦，下面介绍一种新的方
法。
解：
由0 则，当且仅当，即时取等号。
故当时，取得最小值9。
例3 求使不等式│x-4│+│x-3│ 分析：此题若用讨论法，可以求解，但过程较繁;用绝对值不等式的性质求解却十分方便。
解：令f(x)=│x-4│+│x-3│原不等式有解，只需a>f(x)min，而f(x)=│x-4│+│x-3│≥│(x-4)-(x-3)│=1，当且仅当x∈[3，4]时，等号成立。
所以f(x)min=1，因此的a取值范围是a∈[1，+∞]。
评注：例2表面上看本题不能使用基本不等式，但只要稍留心便能从两个分母中发现“名堂”，一个分母是，另一个分母是，两数之积正好为“1”，于是巧乘得“1”便可利用基本不等式。其实，即便不是“1”也可类似处理，只是式子前面要多乘一个系数。例4采用了绝对值三角不等式快捷的求出了参数的取值范围。
数学求最值方法总结 篇四
1、利用抛物线求最值。因为抛物线有最高点或最低点，只要将抛物线化成顶点式y=a(x-h)X2+k, 就可以知道，当x=h时，函数求得最值k. 当a>0时，是最小值，当a<0时，是最大值；
2、利用定义域求最值。当函数（连续函数）被限定定义域时，(连续)函数在闭区间上就一定有最值。比如一段线段，两个端点就是它的最值；双曲线在同象限的定义域内，也可以取得最值。而抛物线在定义域上，未必取得它原先的最值。只有当x=h在定义域上时，才取得原来的最值，同时它还一定会取得另外一个最值，并且当x=h不在定义域上时，它也能取得两个最值。这个方法涉及到一些初中没有接触到的概念，比如连续函数，这个概念不需要去深究，因为我们现在学的函数，除了反比例函数在原点处之外，都是连续函数。而闭区间指的是取得端点的定义域。
3、利用算术平均数不小于几何平均数。初中生一般用到的是aX2+bX2>=2ab. 要注意的是，只有a=b成立时，才取得最小值2ab.
