初三圆知识点总结【精彩6篇】

时间:2018-06-04 03:41:14
染雾
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初三圆知识点总结 篇一

在初三数学中,圆是一个重要的几何概念。学好圆的相关知识点,对于解题和应用数学非常有帮助。下面将对初三圆的相关知识点进行总结。

一、圆的定义和性质

1. 定义:圆是由平面上的一点到另一点距离相等的所有点的集合。

2. 性质:

- 圆心:圆的中心点,记作O。

- 半径:连接圆心和圆上任意一点的线段,记作r。

- 直径:通过圆心的两个点的线段,记作d,d=2r。

- 弧:圆上两个点之间的部分,记作AB。

- 弦:圆上两个点之间的线段,记作CD。

- 弧长:弧所对的圆心角所对应的弧长。

- 圆周:圆上所有点的集合。

- 弧度:圆心角对应的弧长等于半径的角度。

二、圆的常见公式

1. 圆的周长:C = 2πr 或 C = πd

2. 圆的面积:A = πr2

三、圆的相交关系

1. 相交:两个圆的圆心之间的距离小于两个圆的半径之和。

2. 相切:两个圆的圆心之间的距离等于两个圆的半径之和。

3. 外切:两个圆的圆心之间的距离等于两个圆的半径之差。

4. 内切:两个圆的圆心之间的距离等于两个圆的半径之和。

四、圆的重要定理

1. 切线定理:切线与半径垂直。

2. 弦切角定理:弦切角等于其所对的弧的一半的角。

3. 弦弧角定理:弦弧角等于其所对的弧的一半的角。

4. 切割线定理:两条切割线与半径的夹角相等。

五、圆的应用

圆的相关知识点在数学中有广泛的应用,如几何题、物理问题和工程计算等。在解题时,应掌握圆的定义、性质和公式,并能够运用相关定理解决问题。

初三圆知识点总结 篇二

初三数学中,圆是一个重要的几何概念。学好圆的相关知识点,对于解题和应用数学非常有帮助。下面将对初三圆的相关知识点进行总结。

一、圆的定义和性质

1. 定义:圆是由平面上的一点到另一点距离相等的所有点的集合。

2. 性质:

- 圆心:圆的中心点,记作O。

- 半径:连接圆心和圆上任意一点的线段,记作r。

- 直径:通过圆心的两个点的线段,记作d,d=2r。

- 弧:圆上两个点之间的部分,记作AB。

- 弦:圆上两个点之间的线段,记作CD。

- 弧长:弧所对的圆心角所对应的弧长。

- 圆周:圆上所有点的集合。

- 弧度:圆心角对应的弧长等于半径的角度。

二、圆的常见公式

1. 圆的周长:C = 2πr 或 C = πd

2. 圆的面积:A = πr2

三、圆的相交关系

1. 相交:两个圆的圆心之间的距离小于两个圆的半径之和。

2. 相切:两个圆的圆心之间的距离等于两个圆的半径之和。

3. 外切:两个圆的圆心之间的距离等于两个圆的半径之差。

4. 内切:两个圆的圆心之间的距离等于两个圆的半径之和。

四、圆的重要定理

1. 切线定理:切线与半径垂直。

2. 弦切角定理:弦切角等于其所对的弧的一半的角。

3. 弦弧角定理:弦弧角等于其所对的弧的一半的角。

4. 切割线定理:两条切割线与半径的夹角相等。

五、圆的应用

圆的相关知识点在数学中有广泛的应用,如几何题、物理问题和工程计算等。在解题时,应掌握圆的定义、性质和公式,并能够运用相关定理解决问题。

初三圆知识点总结 篇三

  1、 圆的有关概念:

  (1)确定一个圆的要素是圆心和半径。

  (2)

  ①连结圆上任意两点的线段叫做弦。

  ②经过圆心的弦叫做直径。

  ③圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。

  ④小于半圆周的圆弧叫做劣弧。

  ⑤大于半圆周的圆弧叫做优弧。

  ⑥在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。

  ⑦顶点在圆上,并且两边和圆相交的角叫圆周角。

  ⑧经过三角形三个顶点可以画一个圆,并且只能画一个,经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心,这个三角形叫做这个圆的内接三角形,外心是三角形各边中垂线的交点;直角三角形外接圆半径等于斜边的一半。

  ⑨与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆外切三角形,三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点。

  2、 圆的有关性质

  (1)定理在同圆或等圆中,如果圆心角相等,那么它所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等。推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对的其余各组量都分别相等。

  (2)垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。

  推论1:

  ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。

  ②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。

  ③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。

  推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。

  (3)圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。推论1在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等。推论2半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90 。90 的圆周角所对的弦是圆的直径。推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。

  (4)切线的判定与性质:判定定理:经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线。性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径;经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;经过切点切垂直于切线的直线必经过圆心。

  (5)定理:不在同一条直线上的三个点确定一个圆。

  (6)圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长;切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角。

  (7)圆内接四边形对角互补,一个外角等于内对角;圆外切四边形对边和相等;

  (8)弦切角定理:弦切角等于它所它所夹弧对的圆周角。

  (9)和圆有关的比例线段:相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等。

  (10)两圆相切,连心线过切点;两圆相交,连心线垂直平分公共弦。

初三圆知识点总结 篇四

  一、圆

  1、圆的有关性质

  在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形叫圆,固定的端点O叫圆心,线段OA叫半径。

  由圆的意义可知:

  圆上各点到定点(圆心O)的距离等于定长的点都在圆上。

  就是说:圆是到定点的距离等于定长的点的集合,圆的内部可以看作是到圆。心的距离小于半径的点的集合。

  圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。连结圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点间的部分叫圆弧,简称弧。

  圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫半圆,大于半圆的弧叫优弧;小于半圆的弧叫劣弧。由弦及其所对的弧组成的圆形叫弓形。

  圆心相同,半径不相等的两个圆叫同心圆。

  能够重合的两个圆叫等圆。

  同圆或等圆的半径相等。

  在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫等弧。

  二、过三点的圆

  l、过三点的圆

  过三点的圆的作法:利用中垂线找圆心

  定理不在同一直线上的三个点确定一个圆。

  经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆,外接圆的圆心叫外心,这个三角形叫圆的内接三角形。

  2、反证法

  反证法的三个步骤:

  ①假设命题的结论不成立;

  ②从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾;

  ③由矛盾得出假设不正确,从而肯定命题的结论正确。

  例如:求证三角形中最多只有一个角是钝角。

  证明:设有两个以上是钝角

  则两个钝角之和>180°

  与三角形内角和等于180°矛

盾。

  ∴不可能有二个以上是钝角。

  即最多只能有一个是钝角。

  三、垂直于弦的直径

  圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

  垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。

  推理1:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对两条弧。

  弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。

  平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一个条弧。

  推理2:圆两条平行弦所夹的弧相等。

  四、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

  圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

  实际上,圆绕圆心旋转任意一个角度,都能够与原来的图形重合。

  顶点是圆心的角叫圆心角,从圆心到弦的距离叫弦心距。

  定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦心距相等。

  推理:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

  五、圆周角

  顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角。

  推理1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。

  推理2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。

  推理3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。

  由于以上的定理、推理,所添加辅助线往往是添加能构成直径上的圆周角的辅助线。

初三圆知识点总结 篇五

  圆的初步认识

  一、圆及圆的相关量的定义(28个)

  1、平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心,定长称为半径。

  2、圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。

  3、顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

  4、过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆,其圆心称为内心。

  5、直线与圆有3种位置关系:无公共点为相离;有2个公共点为相交;圆与直线有唯一公共点为相切,这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点。

  6、两圆之间有5种位置关系:无公共点的,一圆在另一圆之外叫外离,在之内叫内含;有唯一公共点的,一圆在另一圆之外叫外切,在之内叫内切;有2个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。

  7、在圆上,由2条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。

  二、有关圆的字母表示方法(7个)

  圆--⊙ 半径r 弧--⌒ 直径d

  扇形弧长/圆锥母线l 周长C 面积S三、有关圆的基本性质与定理(27个)

  1、点P与圆O的位置关系(设P是一点,则PO是点到圆心的距离):

  P在⊙O外,POP在⊙O上,PO=r;P在⊙O内,PO

  2、圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形,其对称中心是圆心。

  3、垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。逆定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧。

  4、在同圆或等圆中,如果2个圆心角,2个圆周角,2条弧,2条弦中有一组量相等,那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

  5、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

  6、直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。

  7、不在同一直线上的3个点确定一个圆。

  8、一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点,到三角形3个顶点距离相等;内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点,到三角形3边距离相等。

  9、直线AB与圆O的位置关系(设OPAB于P,则PO是AB到圆心的距离):

  AB与⊙O相离,POAB与⊙O相切,PO=r;AB与⊙O相交,PO

  10、圆的切线垂直于过切点的直径;经过直径的一端,并且垂直于这条直径的直线,是这个圆的切线。

  11、圆与圆的位置关系(设两圆的半径分别为R和r,且Rr,圆心距为P):

  外离P外切P=R+r;相交R-r

  三、有关圆的计算公式

  1、圆的周长C=2d

  2、圆的面积S=s=

  3、扇形弧长l=nr/180

  4、扇形面积S=n/360=rl/2

  5、圆锥侧面积S=rl

  四、圆的方程

  1、圆的标准方程

  在平面直角坐标系中,以点O(a,b)为圆心,以r为半径的圆的标准方程是

  (x-a)^2+(y-b)^2=r^2

  2、圆的一般方程

  把圆的标准方程展开,移项,合并同类项后,可得圆的一般方程是

  x^2+y^2+Dx+Ey+F=0

  和标准方程对比,其实D=-2a,E=-2b,F=a^2+b^2

  相关知识:圆的离心率e=0、在圆上任意一点的曲率半径都是r、

  五、圆与直线的位置关系判断

  链接:圆与直线的位置关系(一、5)

  平面内,直线Ax+By+C=O与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是

  讨论如下2种情况:

  (1)由Ax+By+C=O可得y=(-C-Ax)/B,[其中B不等于0],

  代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0,即成为一个关于x的一元二次方程f(x)=0、

  利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下:

  如果b^2-4ac0,则圆与直线有2交点,即圆与直线相交

  如果b^2-4ac=0,则圆与直线有1交点,即圆与直线相切

  如果b^2-4ac0,则圆与直线有0交点,即圆与直线相离

  (2)如果B=0即直线为Ax+C=0,即x=-C/A、它平行于y轴(或垂直于x轴)

  将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

  令y=b,求出此时的两个x值x1,x2,并且我们规定x1

  当x=-C/Ax2时,直线与圆相离

  当x1

  当x=-C/A=x1或x=-C/A=x2时,直线与圆相切

  圆的定理:

  1、不在同一直线上的三点确定一个圆。

  2、垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

  推论1

  ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧

  ②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧

  ③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧

  推论2

  1、圆的两条平行弦所夹的弧相等

  3、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

  4、圆是定点的距离等于定长的点的集合

  5、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

  6、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

初三圆知识点总结 篇六

  5.1圆

  1、定义:圆是到定点的距离等于定长的点的集合

  2、点与圆的位置关系:

  如果⊙O的半径为r,点P到圆心O的距离为d,那么

  点P在圆内,则dr;

  点P在圆上,则dr;

  点P在圆外,则dr;反之亦成立。

  5.2圆的对称性

  一、圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心。

  定理:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

  圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。

  二、圆是轴对称图形,过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。

  垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。

  5.3圆周角

  定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角

  定理:同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于该弧所对的圆心角的一半。

  定理:直径(或半圆)所对的圆周角是直角。90o的圆周角所对的弦是直径。

  5.4确定圆的条件

  结论:不在同一条直线上的三点确定一个圆

  三角形的外接圆(三角形的外心):三角形的外心是三角形中3边垂直平分线的交点,三角形的外心到三角形各顶点的距离相等。

  注:直角三角形的外心是斜边的中点,外接圆的半径等于斜边的一半。

  5.5直线与圆的位置关系

  一、三种位置关系:相交、相切、相离

  如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么

  直线l与⊙O相交,则dr;

  直线l与⊙O相切,则dr;

  直线l与⊙O相离,则dr;反之亦成立。

  二、圆的切线的性质及判定

  定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

  两种方法:连半径,证垂直;作垂直,证半径

  定理:圆的切线垂直于过切点的半径

  三角形的内切圆(三角形的内心):三角形的内心是三角形中3条角平分的交点,三角形的内心到三角形各边的距离相等。

  注:求三角形的内切圆的半径通常用面积法,特殊地,直角三角形内切圆的半径=a?b?c(其中c为斜边) 2

  切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

  5.6圆与圆的位置关系

  五种位置关系:外离、外切、相交、内切、内含

  阅读材料:如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

  5.7正多边形与圆

  各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。

  正多边形都是轴对称图形,一个正n边形共有n条对称轴,每条对称轴都通过正n边形的中心。一个正多边形,如果有偶数条边,那么它既是轴对称图形,又是中心对称图形。

  注:与正多边形有关的计算

初三圆知识点总结【精彩6篇】

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