染雾证明直线与圆相切的方法 篇一
直线与圆相切是几何学中一个重要的问题，它在数学和物理等领域有广泛的应用。本篇文章将介绍两种常用的方法来证明直线与圆相切。
方法一：切线法
切线法是一种常见的证明直线与圆相切的方法。它基于以下原理：直线与圆相切的充分必要条件是直线与圆的切点只有一个。
首先，我们需要明确直线与圆的定义。直线是由无限多个点组成，它们在同一直线上排列。圆是由一组等距离于圆心的点组成，这些点与圆心的距离称为圆的半径。
接下来，我们以一个具体的例子来说明切线法的具体步骤。假设有一个圆，圆心坐标为（0，0），半径为r。我们要证明直线y=kx+b与该圆相切。
首先，我们需要找到直线与圆的切点。设直线上的某一点为（x0，y0），则该点到圆心的距离为√(x0^2+y0^2)。由于直线与圆相切，所以该点到圆的距离等于圆的半径r，即√(x0^2+y0^2)=r。
然后，我们将直线方程y=kx+b带入上式，得到k^2x^2+(2kb-k^2)x+b^2-r^2=0。由于直线与圆相切，所以该方程只有一个实根，即判别式D=(2kb-k^2)^2-4k^2(b^2-r^2)=0。
最后，我们求解判别式D=0，得到k=(±√(4b^2-4r^2))/(2b-2k^2)。将k带入直线方程y=kx+b，即可得到直线与圆的切点坐标。
综上所述，我们使用切线法证明了直线与圆相切的充分必要条件是直线与圆的切点只有一个。
方法二：射线法
射线法也是一种常用的证明直线与圆相切的方法。它基于以下原理：直线与圆相切的充分必要条件是直线与圆的切点到圆心的连线垂直于直线。
同样以一个具体的例子来说明射线法的具体步骤。假设有一个圆，圆心坐标为（0，0），半径为r。我们要证明直线y=kx+b与该圆相切。
首先，我们需要找到直线与圆的切点。设直线上的某一点为（x0，y0），则该点到圆心的距离为√(x0^2+y0^2)。由于直线与圆相切，所以该点到圆的距离等于圆的半径r，即√(x0^2+y0^2)=r。
然后，我们求解直线的斜率k。由于直线与圆相切，所以直线的切点到圆心的连线垂直于直线，即斜率为-k的直线过圆心（0，0）。由此可得直线的斜率k=-y0/x0。
最后，我们将直线方程y=kx+b带入斜率公式，得到-b/x0=k。将k带入直线方程，即可得到直线与圆的切点坐标。
综上所述，我们使用射线法证明了直线与圆相切的充分必要条件是直线与圆的切点到圆心的连线垂直于直线。
通过以上两种方法，我们可以证明直线与圆相切的条件。这些方法在实际问题中有广泛的应用，例如在工程、物理和计算机图形学等领域中。掌握这些方法可以帮助我们更好地理解和应用直线与圆的关系。
证明直线与圆相切的方法 篇三
证明直线与圆相切的方法
在我们平凡的日常里，大家高中数学免不了要接触或直线与圆相切吧，以下是小编帮大家整理的证明直线与圆相切的方法，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。
证明直线与圆相切主要有以下两种方法：
一、根据切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
当已知直线与圆有公共点时，常用此法。辅助线是连结公共点和圆心，只要设法证明直线与半径垂直即可。
例1. （2004年江苏省淮安市中考题）
已知：如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交△ABC的外接圆⊙O于点D，交BC于点G。
图1
（1）连结CD，若AG＝4，DG＝2，求CD的长；（解略）
（2）过点D作EF∥BC，分别交AB、AC的延长线于点E、F。求证：EF与⊙O相切。
证明：（2）连结OD，由∠1＝∠2，
得
，则OD⊥BC
所以
因为EF∥BC，所以∠BCD＝∠CDF
从而
即EF⊥OD，所以EF与⊙O相切。
如图2，BE是⊙O的直径，点A在BE的'延长线上，弦PD⊥BE，垂足为C，连结OD，且∠AOD＝∠APC。
（1）求证：AP是⊙O的切线。
（2）略。
图2
证明：连结OP，因为PD⊥BE，OP＝OD
所以∠POB＝∠DOB，而∠APD＝∠DOB
所以∠POB＝∠APD
由PD⊥BE得：∠POB＋∠OPC＝90°
即∠APD＋∠OPC＝90°
所以AP是⊙O的切线
二、根据直线与圆的位置关系
若圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线与圆相切。
当题设中不能肯定直线与圆有公共点时，常用此法。辅助线是过圆心作该直线的垂线段，只要设法证明垂线段等于半径即可。
例3. （2003年甘肃省中考题）
如图3，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以C为圆心、r为半径作圆，当r＝2.4时，AB与圆有怎样的位置关系？为什么？
图3
解：作CD⊥AB，垂足为D，则
由CD·AB＝AC·BC得：
即AB与圆相切。
例4. 如图4，AB是⊙O的直径，AC⊥l，BD⊥l，C、D为垂足，且AC＋BD＝AB，求证：直线l与⊙O相切。
图4
证明：过O作OE⊥l，E为垂足，则
OE∥AC∥BD，又AO＝BO
所以
而
，则
即垂线段OE等于圆的半径，所以直线l是⊙O的切线。
